1 Einführung 11

1.1 Warum Mathematik? 11

1.2 Vorbereitende und ergänzende Literatur 13

2 Mathematische Grundbegriffe 15

2.1 Zahlen 15

2.2 Rechenregeln 16

2.3 Zahlen als Messergebnisse 17

2.3.1 Messgenauigkeit, Runden 17

2.3.2 Maßeinheiten 18

2.3.3 Mol und Molekulargewicht 18

2.4 Vektoren, Matrizen 19

2.5 Matrizenmultiplikation 21

2.6 Zahlenfolgen 22

2.7 Funktionen 23

2.8 Bemerkungen zum Rechnen mit Logarithmen 25

2.9 Fragen und Aufgaben 25

3 Differenzieren, Ableitung 27

3.1 Ableitung von Funktionen einer Variablen 27

3.2 Ableitungsregeln 29

3.3 Integral und Stammfunktion 32

3.4 Partielle Ableitungen 33

3.5 Fragen und Aufgaben 34

4 Grafische Darstellung von Daten und beschreibende Statistik 35

4.1 Datenvektoren und Datenmatrizen 35

4.2 Beschreibende Statistik - Grundbegriffe 37

4.3 Eindimensionale Stichproben 38

4.3.1 Nominale Merkmale 38

4.3.2 Metrische Merkmale 39

4.3.3 Statistische Kennzahlen 41

4.4 Zweidimensionale Stichproben 43

4.5 Lineare Regression 45

4.6 Allometrie 48

4.7 Fragen und Aufgaben 51

5 Wachstumsmodelle: unbeschränktes Wachstum 53

5.1 Lineares Wachstum 53

5.2 Exponentielles Wachstum - diskrete Zeit 54

5.2.1 Modellwahl 58

5.2.2 Quadratische Abweichung 59

5.3 Exponentielles Wachstum - stetige Zeit 60

5.3.1 Von diskreter zu stetiger Zeit 60

5.3.2 Die Differenzialgleichung für exponentielles Wachstum in stetiger Zeit 61

5.3.3 Kommentar aus der Sicht der Mathematik 62

5.3.4 Lineare Regression bei exponentiellem Wachstum 63

5.3.5 Zusammenfassung zum exponentiellen Wachstum: 64

5.3.6 Exponentielles Aussterben 64

5.3.7 Verdopplungszeit, Halbwertzeit 65

5.4 Fragen und Aufgaben 66

6 Wachstumsmodelle: beschränktes Wachstum 67

6.1 Logistisches Wachstum 67

6.1.1 Ein paar grundsätzliche Bemerkungen zum Begriff

der Differenzialgleichung 71

6.1.2 Bemerkungen zum numerischen Lösen einer Differenzialgleichung 72

6.1.3 Anpassung des logistischen Modells an Daten 73

6.1.4 Ein Residuenplot 74

6.2 Stabilisierung bei konstantem Zu?uss und exponentiellem Abbau 75

6.3 Variationen zum logistischen Wachstum 76

6.3.1 Ein logistisches Modell mit "Bejagung" 76

6.3.2 Ein Modell mit zwei stabilen Gleichgewichten 79

6.4 Zeitverzögerungen 80

6.5 Zwei Modelle der chemischen Reaktionskinetik 81

6.6 Fragen und Aufgaben 85

7 Modelle der Populationsgenetik 87

7.1 Das Hardy-Weinberg-Modell 87

7.2 Inzucht 91

7.3 Selektion 92

7.4 Fragen und Aufgaben 97

8 Wachstumsmodelle: zwei Populationen 98

8.1 Das Räuber-Beute-Modell von Lotka und Volterra 98

8.2 Ein einfaches Epidemiemodell 103

8.3 Fragen und Aufgaben 105

9 Wahrscheinlichkeitsrechnung 106

9.1 Zufallsvariablen 106

9.1.1 Diskrete Zufallsvariablen 107

9.1.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen 108

9.2 Unabhängigkeit diskreter Zufallsvariablen 109

9.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 110

9.2.2 Die Binomialverteilung 110

9.3 Unabhängigkeit kontinuierlicher Zufallsvariablen 112

9.4 Histogramm unabhängiger Beobachtungen 112

9.5 Erwartungswert und Varianz 113

9.5.1 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen 113

9.5.2 Erwartungswert und Varianz kontinuierlicher Zufallsvariablen 115

9.6 Normal-und Poisson-Approximation der Binomialverteilung 116

9.6.1 Verteilungsfunktionen binomialverteilter Zufallsvariablen 116

9.6.2 Normalapproximation der Binomialverteilung 117

9.6.3 Poisson-Approximation der Binomialverteilung 118

9.7 Fragen und Aufgaben 119

10 Beurteilende Statistik: Testen 120

10.1 Der Binomialtest 120

10.1.1 Formulierung des Testproblems 120

10.1.2 Durchführung des Tests 121

10.1.3 Unabhängigkeit der Beobachtungen 122

10.2 Chi-Quadrat-Tests 123

10.3 Fragen und Aufgaben 129

11 Beurteilende Statistik: Schätzen 131

11.1 Schätzen von Erfolgswahrscheinlichkeiten 131

11.2 Kon?denzintervall für den Erwartungswert 134

11.2.1 Kon?denzintervall bei normalverteilten Beobachtungen 135

11.2.2 Der Ein-Stichproben-t-Test 136

11.3 Fragen und Aufgaben 137

12 Beurteilende Statistik: Korrelation und Regression 138

12.1 Ist der Korrelationskoef?zient signi?kant von Null verschieden? 138

12.2 Die statistische Beurteilung der geschätzten Regressionskoef?zienten 140

12.3 Vorsicht bei linearer Regression 142

12.4 Fragen und Aufgaben 142

13 Einführung in das Sequenz-Alignment 143

13.1 Scoring-Modelle zur Bewertung von Alignments 143

13.1.1 Scoring bei DNA-Alignments 143

13.1.2 Scoring bei Proteinsequenz-Alignments 144

13.2 Scores und Wahrscheinlichkeiten 146

13.3 Der Needleman-Wunsch-Algorithmus 148

13.3.1 Die Grundidee des Needleman-Wunsch-Algorithmus 149

13.3.2 Eine Realisierung des Needleman-Wunsch-Algorithmus

für den Vergleich zweier DNA-Sequenzen in R 151

13.3.3 Beispiele zum Needleman-Wunsch-Algorithmus 152

13.3.4 Der Smith-Waterman-Algorithmus 153

13.4 Clustering 154

13.5 Fragen und Aufgaben 156

R Einführung in R 157

R1 Erste Schritte 158

R1.1 R als Taschenrechner 158

R1.2 Eine erste Gra?k 161

R2 Grundlegende Begriffe 162

R2.1 Variablen 162

R2.2 Folgen 163

R2.3 Die erzeugten Objekte 165

R3 Funktionen, Nullstellen, Maxima, Minima, R-Hilfe 166

R3.1 Funktionen 166

R3.2 Funktionsgraphen 167

R3.3 Hilfe in der Dokumentation 168

R3.4 Nullstellen, Maxima und Minima 169

R4 Funktionen mehrerer Variablen, der Workspace von R 171

R4.1 Funktionen mehrerer Variablen 171

R4.2 Wie funktioniert R im Hintergrund? 172

R5 Vektoren, Matrizen, der Dateneditor 174

R5.1 Vektoren 174

R5.2 Matrizen 176

R6 Matrizenmultiplikation, Dotplots 180

R6.1 Matrizenmultiplikation 180

R6.2 Der Befehl outer() 182

R6.3 Eine Vergleichstabelle für Sequenzvergleiche und ein Dotplot 183

R7 Datensätze, R Commander, beschreibende Statistik 185

R7.1 Der R Commander 185

R7.2 Datensätze 186

R7.3 Speichern von Programmen und Objekten 189

R7.4 Lineare Regression und Korrelation 190

R8 Datenim-und -export, Gra?kexport 193

R8.1 Erstellen und Einlesen eigener Datensätze 193

R8.2 Gra?k-Export 195

R9 Exponentielles Wachstum und Abklingen 197

R9.1 Zinseszins mit R als Taschenrechner 197

R9.2 Exponentielles Wachstum - US-Bevölkerungsdaten 197

R9.3 Exponentieller Abbau - Medikamentenabbau im Körper 198

R10 Nichtlineare Regression 200

R10.1 Logistisches Wachstum - US-Bevölkerungsdaten 201

R10.2 Biexponentielles Abklingen 201

R10.3 Michaelis-Menten-Funktion 202

R11 Binomial-, Normal-und Poisson-Verteilung 203

R11.1 Die Binomialverteilung 203

R11.2 Die Normalverteilung 204

R11.3 Die Poisson-Verteilung 205

R11.4 Plotten von Dichten und Verteilungsfunktionen 205

R12 Binomialtest und Chi-Quadrat-Tests 206

R12.1 Die Binomialverteilung und der Binomialtest 206

R12.2 _x²-Tests 208

R13 Schätzen und Testen bei normalverteilten Beobachtungen 209

R13.1 Kon?denzintervalle bei normalverteilten Beobachtungen 209

R13.2 Ein-Stichproben-t-Test 211

R13.3 Zwei-Stichproben-t-Test - verbundene Strichproben 212

R13.4 Statistik zur linearen Regression 213

R14 Sequence Alignment 214

R14.1 Die Datenbank Genbank 214

R14.2 Die Bereitstellung von Sequenzen für R 215

R14.3 Needleman-Wunsch-Algorithmus für Protein-Sequenzen 216

R14.4 Gleichzeitiger Vergleich mehrerer Sequenzen 217

Verzeichnisse 219

R-Codes zu ausgewählten Abbildungen 219

Literatur 225

Sachregister 227

Index der R-Befehle 231