Als eigenstandige Disziplin gibt es die Nichtstandard-Analysis etwa seit dem Jahre 1960. Inzwischen hat sie eine sturmische Entwicklung genommen, die sich keineswegs auf die Analysis be schrankte. Viele bekannte Namen sind mit ihr verbunden, doch erscheint es gerecht, den von Ab~aham ~ob~n~on besonders her vorzuheben. Er scheint nicht nur als erster die Moglichkeiten der mathematischen Logik erkannt zu haben, }1odelle der Analysis mit Infinitesimalien zu konstruieren, sondern er hat auch den weiteren Verlauf der Entwicklung in ganz ungewohnlicher Weise beeinfluf5t. Dieses Buch solI den Mathematiker (und nieht primar den Logi ker) in die Welt der Nichtstandard-Methoden einfuhren. Dabei werden zwei Aspekte unterschieden: Zum einen mochte man wis sen, wie diese Hethoden arbeiten und zum zweiten mochte man wissen, waJtum man so vorgehen darf. Das "wie" wird erst ein mal durch die Angabe eines Axiomensystems beschrieben, des sen dUrre Einfachheit im weiteren Verlaufe durch Beispiele und An wendungen mit Leben erfUllt wird. Das "warum" ist eine Frage der mathematischen Logik; sie wird im letzten Kapitel (IX) diskutiert und beantwortet. Ob und wann man sich hiermit be schaftigt, ist weitgehend Geschmackssache; urn Nichtstandard Analysis praktisch zu betreiben, ist die Kenntnis der modell theoretischen Methoden jedenfalls keine 8edingung (wie man auch nichts von der Konstruktion der reellen Zahlen wissen mue, urn Analysis zu treiben). An Axiomensystemen werden zwei verschiedene vorgestellt: Keis ler's Axiome fUr die elementare Analysis (Kar. II) und Nelson's Axiome fUr die gesamte Hengenlehre (Kap. IV).
Als eigenstandige Disziplin gibt es die Nichtstandard-Analysis etwa seit dem Jahre 1960. Inzwischen hat sie eine sturmische Entwicklung genommen, die sich keineswegs auf die Analysis be schrankte. Viele bekannte Namen sind mit ihr verbunden, doch erscheint es gerecht, den von Ab~aham ~ob~n~on besonders her vorzuheben. Er scheint nicht nur als erster die Moglichkeiten der mathematischen Logik erkannt zu haben, }1odelle der Analysis mit Infinitesimalien zu konstruieren, sondern er hat auch den weiteren Verlauf der Entwicklung in ganz ungewohnlicher Weise beeinfluf5t. Dieses Buch solI den Mathematiker (und nieht primar den Logi ker) in die Welt der Nichtstandard-Methoden einfuhren. Dabei werden zwei Aspekte unterschieden: Zum einen mochte man wis sen, wie diese Hethoden arbeiten und zum zweiten mochte man wissen, waJtum man so vorgehen darf. Das "wie" wird erst ein mal durch die Angabe eines Axiomensystems beschrieben, des sen dUrre Einfachheit im weiteren Verlaufe durch Beispiele und An wendungen mit Leben erfUllt wird. Das "warum" ist eine Frage der mathematischen Logik; sie wird im letzten Kapitel (IX) diskutiert und beantwortet. Ob und wann man sich hiermit be schaftigt, ist weitgehend Geschmackssache; urn Nichtstandard Analysis praktisch zu betreiben, ist die Kenntnis der modell theoretischen Methoden jedenfalls keine 8edingung (wie man auch nichts von der Konstruktion der reellen Zahlen wissen mue, urn Analysis zu treiben). An Axiomensystemen werden zwei verschiedene vorgestellt: Keis ler's Axiome fUr die elementare Analysis (Kar. II) und Nelson's Axiome fUr die gesamte Hengenlehre (Kap. IV).
Inhaltsverzeichnis
I. Historisches und Grundsätzliches über Das Unendliche und den Gebrauch Idealer Punkte.- II. Der Axiomatische Rahmen für die Nichtstandard-Analysis.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Das Axiomensystem für die hyperreellen Zahlen und erste Folgerungen.- III. ErstesKapitel über die Reelle und Komplexe Nichtstandard-Analysis.- 1. Differenzierbarkeit.- 2. Das Riemannsche Integral.- 3. Etwas komplexe Analysis.- 4. Die Gleichwertigkeit einiger Standard-und Nichtstandardbegriffe.- IV. DieMethode der Nichtstandarderweiterung im Allgemeinen Fall.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Das Axiomensystem für die interne Mengenlehre und erste Folgerungen.- 3. Die reellen Zahlen in der internen Mengenlehre.- V. FortgeschrittenesKapitel zur Analysis.- 1. Differentialgleichungen.- 2. Distributionen.- VI. TopologischeRäume.- 1. Einige grundlegende Eigenschaften topologischer Räume nebst Beispielen.- 2. Komplettierungen und Kompaktifizierungen.- VII. Algebra und Zählentheorie.- 1. Einführung und Galoistheorie.- 2. Bewertungstheorie.- VIII. VermischteAnwendungen.- 1. Berechenbarkeit und Programmiersprachen.- 2. Eine Problematik aus der mathematischen Ökonomie.- IX. MathematischeLogik und Grundlagenfragen.- 1. Grundsätzliches.- 2. Prädikatenlogik und Modelle für die hyperreellen Zahlen.- 3. Modelle für die interne Mengenlehre.- 4. Topologische Formeln und Monaden.
